L（N）nV＜L（N）NV，适用于08＜Yv+的情况。因为对于每一个满足前面所有条件的N都是如此，我们现在可以通过超限归化法得出结论，通过将j的限制扩展到Vx+1的嵌入，A满足V中的Woodin公理，这就完成了论证。这完成了o-enormous和hyper-enormous基数比之前考虑的不一致的ZFC扩展具有更大的一致性强度的论证。4.几乎0-巨大和超巨大的枢机RalfSdler和Victitman在1996年引入了虚拟大基数性质的概念。给定任何参照集合大小的初等嵌入j:Va＜Ve或此类嵌入族定义的大基数性质，对应的虚拟大基数除了通过初等嵌入j:（Va）＜（V）V，其中jEV[G]对于V的集合泛型扩展之外，性质也以同样的方式定义。我们在本节中陈述了一个关于虚拟超巨基数的结果，并将在稍后的第6节中陈述一个关于虚拟w巨基数的结果。定理4.1。如果K是一个可测量的基数，并且V=HOD，那么在κ中存在一个序列余数，见证了虚拟的超巨型。证明。假设有临界点κ的j:V＜M见证了κ的可测量性。然后有一个初等嵌入j:Vk+1（MOV（）+1），它出现在M的一般扩展中（这里使用假设V=HOD）。迭代反射产生期望的结果。5.无选择的枢机的不一致假设依赖选择公理（但显然不是完全选择公理），非平凡初等嵌入j:Vx+2＜Vx+2的临界点很可能是超巨大的。然而，在接下来的内容中，我们将只需要使用一个较弱的陈述，它可以在没有任何形式的选择的情况下被证明。定义5.1。假设o是一个极限序数，使得＞0，并且（Kp:β＜a）与一族初等嵌入F证明k是0-巨大的，对于每一个小于a的有限序数序列，F族中只有一个嵌入证明k是0-巨大的。假设，给定任何一个小于a的序数w序列（08i:i＜w），存在一个初等嵌入j:Vx+1＜Vx+1，