＜Ko的集合使得I3（K，δ）对于某些δ＜Ko，是U的成员。证明。假设k是w-巨大的，并且（Ki:iEw）与某一族的初等嵌入F一起见证了k的w-巨大，可以在不失一般性的前提下假设F中所有临界点为0的嵌入都产生相同的w-巨大新的大基数公理和终极程序在ko上的正常超滤，在下面用U表示。我们可以用反射来证明存在一个＜ko属于U的任何固定元素，使得（ko，ko，K1，…）与某一族初等嵌入一起见证K的w-天大。然后我们可以重复这个过程来找到一个属于U的同一固定元素的ki，使得K＜K＜ko，使得（ko，K，ko，K1，…）与某一族初等嵌入一起见证K的w-天大。我们可以这样继续下去，我们也可以这样安排，使得存在一个对于所有n个＞都有临界点的嵌入序列jn:V-＜VK，可以通过归纳选择，使得对于每个n个＞，jn对于所有m都与jm相干，使得1＜m＜n，并且Fn中具有以（ko，K，K-2）开头的临界序列的嵌入可以选择与jn相干。这样我们就得到了一个序列（K:n＜w）和一个嵌入序列jn，它们具有前面所述的性质。对于任意给定的U元素，这样一对序列的存在性产生了所宣称的结果。定理2.4。假设κ是一个I2基数。然后在K上有一个普通的超滤器U集中在超巨大的基数上。证明。假设这是一个I2基数，让具有临界点κ的初等嵌入j:VM见证κ是一个I2基数，临界序列的上极值为8。如果我们让U是由j产生的κ上的超滤波器，我们可以很容易地证明K＜K的集合是U的成员，使得存在一个初等嵌入K:Vs＜Vs，其关键序列由κ和j的关键序列组成，后面用X表示）。然后，属于这个集合的序数序列，以及可以从嵌入序列（kw:KEX）中导出的一系列嵌入，证明K是超巨大的。由于还可以得出k在M中是超巨大的，因此可以得出期望的结果。这完成了a-极大基数和超极大基数在I3和I2之间严格具有一致性强度的